Sabtu, 26 Mei 2012

PEMAHAMAN KONSEPTUAL DAN PROSEDURAL

PENTINGNYA PEMAHAMAN KONSEPTUAL DAN PROSEDURAL
DALAM BELAJAR MATEMATIKA
Oleh
 Zainal Abidin AMS

Abstrak: Pemahaman merupakan aspek yang mendasar dalam belajar matematika. Untuk memahami suatu materi dalam matematika diperlukan penguasaan pengetahuan konseptual dan prosedural. Kedua pengetahuan tersebut saling terkait di dalam penggunaannya untuk menyelesaikan soal-soal matematika. Oleh karena itu pengetahuan konseptual dan prosedural merupakan aspek yang penting yang harus dimiliki mahasiswa atau siswa agar dapat diperoleh suatu pemahaman yang baik dalam belajar matematika.
   
Pada aspek kognitif, salah satu yang harus dikuasai dalam belajar matematika adalah pemahaman. Menurut Bloom (1971), pemahaman adalah kemampuan untuk menangkap makna dari bahan yang dipelajari. Kemampuan internal yang dituntut dalam pemahaman antara lain, pertama, translasi, yaitu kemampuan menterjemahkan atau mengubah ide-ide dari bentuk yang satu ke bentuk yang lain yang ekivalen. Kedua, interpelasi, yaitu kemampuan mengidentifikasi atau memahami ide-ide utama yang tercakup dalam suatu komunikasi permasalahan, maupun pengertian tentang hubungan antara ide-ide tersebut. Ketiga, ekstrapolasi yaitu kemampuan memperluas kecenderungan atau tendensi di luar data yang diketahui.
Dalam hasil penelitian Rif’at (1997) menemukan bahwa susunan bukti yang dilakukan mahasiswa dalam bentuk sajian formal masih kurang baik dan kemampuan berpikir  visual mereka belum dapat membangun kemampuan formal. Dari hasil penelitian tersebut, penulis menduga bahwa hal tersebut disebabkan oleh pemahaman mahasiswa terhadap konsep materi yang dipelajari masih kurang, yang bermula dari kurangnya memahami konsep-konsep dasar matematika. Oleh karena itu memahami konsep-konsep dasar sebagai suatu landasan dalam mengembangkan ide matematika perlu dimantapkan dalam pembelajaran matematika.
Beberapa penelitian yang lain menunjukkan bahwa, banyak mahasiswa mampu memanipulasi simbol-simbol tetapi mereka tidak mengetahui makna yang terkandung di balik simbol-simbol tersebut. Mahasiswa lebih bisa memanipulasikan simbol-simbol suatu masalah yang telah ditranslasikan ke dalam model matematika (White dan Mitchelmore,1996). Pendapat lain, Susanna (1995) menyatakan bahwa mahasiswa sering mempelajari prosedur mekanik suatu permasalahan tanpa memahami makna sebenarnya dari permasalahan itu.
Berdasarkan dari pendapat White dan Mitchelmore, dan Susanna yang telah diuraikan di atas, dapat dikatakan bahwa mahasiswa pada umumnya kurang mampu menghubungkan pengetahuan-pengetahuan yang telah dimilikinya dengan permasalahan yang dihadapai. Pengetahuan-pengetahuan apa saja yang seharusnya dimiliki (diperlukan) oleh mahasiswa atau siswa untuk mencapai pemahaman yang baik dalam belajar matematika?

FAKTA, KETERAMPILAN, KONSEP DAN PRINSIP
    Sebelum membahas tentang pengetahuan konseptual dan prosedural, penulis paparkan lebih dahulu tentang fakta, keterampilan (skill), konsep dan prinsip dalam matematika.
    Dalam mempelajari matematika perlu mengklasifikasikan obyek matematika, karena salah satu karakteristik matematika adalah obyek matematika. Menurut Bell (1978), obyek dalam matematika diklasifikasikan atas fakta, keterampilan, konsep, dan prinsip.
    Menurut Bell (1978), fakta adalah suatu konvensi atau kesepakatan dalam matematika, misalnya simbol-simbol dalam matematika. Simbol “4” merupakan simbol yang dihubungkan dengan perkataan “empat”, “x” adalah simbol yang dihubungkan dengan operasi perkalian , “+” adalah simbol yang dihubungkan dengan operasi penjumlahan, “│“ adalah simbol yang dihubungkan dengan perkataan “habis dibagi”, dan sebagainya. Jadi fakta merupakan cara yang khas dari penyajian ide-ide matematika dalam kata-kata atau lambang (simbol).
    Bell (1978), mengemukakan bahwa keterampilan (skill) matematika merupakan operasi dan prosedur di mana matematikawan diharapkan dapat menyelesaikan persoalan dengan cepat dan tepat. Berbagai keterampilan berwujud urutan prosedur tertentu yang disebut dengan algoritma. Sedangkan operasi adalah suatu aturan untuk mendapatkan elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui, misalnya penjumlahan pecahan, perkalian pecahan desimal, membagi sudut, dan menentukan gabungan atau irisan dari beberapa himpunan obyek merupakan contoh keterampilan. Hal tersebut senada dengan apa yang dikemukakan oleh Hudojo (1990) bahwa keterampilan dimaksudkan agar peserta didik mampu menjalankan prosedur dan operasi dalam matematika secara cepat dan benar.
    Menurut Bell (1978), konsep adalah suatu ide atau gagasan abstrak yang memungkinkan seseorang dapat mengklasifikasikan obyek-obyek atau peristiwa-peristiwa tertentu dan memungkinkan pula untuk menentukan apakah obyek-obyek atau peristiwa-peristiwa tertentu itu merupakan contoh atau bukan contoh dari gagasan tersebut. Misalnya tentang konsep keterbagian bilangan bulat, bilangan b habis dibagi a bila ada y sehingga b = ay, untuk a, b, dan y bilangan-bilangan bulat. Misalkan diambil bilangan b = 8 dan a = 2, maka ada bilangan y = 4 sehingga memenuhi b = ay atau 8 = 2.4.  Dengan mengambil bilangan b = 8 dan a = 2 maka memenuhi ide b habis dibagi a. Dengan demikian b = 8 dan a = 2 adalah obyek-obyek yang merupakan contoh dari ide keterbagian bilangan bulat.
    Prinsip adalah obyek matematika yang lebih kompleks. Menurut Bell(1978), prinsip adalah hubungan antara konsep  bersama dengan relasi di antara konsep-konsep. Hal serupa dikemukakan oleh Hudojo (1990), prinsip merupakan suatu ide atau gagasan yang menghubungkan dua atau lebih konsep. Misalnya, jika a│b dan b│c maka a│c, dengan a, b dan c bilangan-bilangan bulat. Di sini ada konsep a│b dihubungkan dengan konsep b│c maka  terjadilah konsep lain yaitu a│c.
    Seseorang dikatakan telah memahami suatu prinsip apabila ia dapat mengidentifikasi konsep-konsep yang termuat dalam prinsip tersebut dan mengaplisikan prinsip tersebut pada situasi tertentu.

PENGETAHUAN KONSEPTUAL
    Konsep merupakan dasar bagi proses-proses untuk memecahkan suatu masalah. Konsep dalam matematika biasanya dijelaskan melalui definisi atau contoh-contoh. Definisi yang menjelaskan suatu konsep dalam matematika merupakan rumusan kata-kata yang digunakan untuk menjelaskan konsep tersebut. Rumusan kata-kata itu dapat berbeda-beda bergantung pada cara dan pendekatan yang digunakan dalam menjelaskan konsep itu. Ada suatu konsep yang dinyatakan dengan simbol-simbol atau istilah-istilah matematika, ada pula yang dinyatakan dalam kalimat atau kata-kata sehari-hari yang maksudnya sudah jelas dan ada pula penjelasan suatu konsep yang dinyatakan dengan gabungan dari kedua cara tersebut.
    Tidak selamanya seseorang (siswa) dapat belajar konsep langsung dari yang ada pada definisi, misalnya bagi mereka yang masih berada di bawah taraf berpikir formal. Oleh karena itu, kita memerlukan contoh-contoh dalam rangka memahami suatu konsep yang ada pada definisi. Menurut Skemp (1977), konsep-konsep yang berorde lebih tinggi dari konsep yang dimiliki seseorang tidak selalu dapat dikomunikasikan dengan baik kepada orang tersebut melalui suatu definisi, tetapi perlu terlebih dahulu memberikan kepadanya sekumpulan contoh-contoh konsep tersebut.
Ausubel (dalam Dahar, 1988) mengemukakan, bahwa konsep dapat diperoleh dengan dua cara, yaitu pembentukan konsep dan asimilasi konsep. Pembentukan konsep dapat dipandang sebagai belajar konsep-konsep konkret menurut Gagne (da-lam Dahar, 1988; dalam Hudojo, 1990), sedangkan asimilasi konsep relevan dengan belajar konsep-konsep abstrak.
    Pembentukan konsep merupakan proses induktif. Dalam proses ini seseorang mengabstraksikan atribut-atribut tertentu yang sama dari berbagai stimulus yang diberikan. Stimulus-stimulus tersebut dapat berupa pemberian contoh-contoh dari sesuatu yang dikonsepkan. Sedangkan asimilasi konsep bersifat deduktif. Dalam proses ini seseorang belajar konsep berpangkal pada pengenalan istilah atau nama dari konsep tersebut beserta atribut-atributnya. Menurut Hudojo (1990), seorang yang belajar konsep secara deduktif telah berada pada tahap simbolisasi atau tahap for-malisasi. Pada tahap simbolisasi seseorang sudah dapat merumuskan representasi setiap konsep yang dipelajarinya dengan menggunakan simbol matematika atau perumusan verbal yang sesuai. Sedangkan pada tahap formalisasi, seseorang bukan hanya dapat merumuskan konsep tersebut, tetapi juga dapat menentukan berbagai sifat yang diperoleh dari konsep-konsep yang telah dipelajarinya, kemudian merumuskan sifat-sifat baru yang berbentuk teorema.
    Pengetahuan konseptual dalam matematika merupakan pengetahuan dasar yang menghubungkan antara potongan-potongan informasi yang berupa fakta, skill (keterampilan), konsep, atau prinsip (Hiebert dan Wearne, 1986). Owen dan Super (1993) menambahkan, bahwa suatu potongan informasi menjadi pengetahuan konseptual hanya jika pengetahuan itu terintegrasi ke dalam jaringan pengetahuan yang lebih luas dalam pikiran seseorang. Jadi pengetahuan konseptual merupakan pengetahuan yang memiliki banyak keterhubungan antara obyek-obyek matematika (seperti fakta, skill, konsep atau prinsip) yang dapat dipandang sebagai suatu jaringan pengetahuan yang memuat keterkaitan antara satu dengan lainnya.
    Dari uraian di atas dapat dikatakan, bahwa seseorang telah mempunyai pengetahuan konseptual tentang “keterbagian bilangan” apabila ia mampu menghubungkan fakta-fakta yang memenuhi untuk dapat menunjukkan “keterbagian bilangan”. Di dalam pikiran orang tersebut konsep “keterbagian bilangan” dan fakta-fakta yang memenuhi, mempunyai keterhubungan dan mengandung keterkaitan satu sama lainnya.

PENGETAHUAN PROSEDURAL
    Hiebert dan Lefevre (dalam White dan Mitchelmore, 1996) menggambarkan pengetahuan prosedural sebagai pengetahuan tentang prosedur baku yang dapat diaplikasikan jika beberapa isyarat tertentu disajikan. Suatu kata kunci untuk prosedur-prosedur yang seperti itu adalah kata "sesudah" dalam pengertian "sesudah langkah ini diikuti dengan langkah berikutnya".
    Dari pernyataan di atas dapat dikatakan bahwa pengetahuan prosedural merupakan pengetahuan tentang urutan kaidah-kaidah, prosedur-prosedur yang digunakan untuk menyelesaikan soal-soal matematika. Prosedur ini dilakukan secara bertahap dari pernyataan yang ada pada soal menuju pada tahap selesaiannya. Salah satu ciri pengetahuan prosedural adalah adanya urutan langkah yang akan ditempuh "sesudah suatu langkah akan diikuti langkah berikutnya".
    Seseorang yang memiliki pengetahuan prosedural mungkin didukung atau mungkin juga tidak didukung oleh pengetahuan konseptual. Seseorang yang memiliki pengetahuan prosedural yang tidak didukung oleh pengetahuan konseptual digambarkan oleh Skemp (dalam White dan Mitchelmore, 1996) sebagai mengetahui aturan-aturannya tanpa mengetahui mengapa aturan-aturan itu bisa bekerja.
    Pengetahuan prosedural lebih cenderung pada penguasaan komputasional dan pengetahuan tentang langkah-langkah untuk mengidentifikasi obyek-obyek matematika, algoritma, dan definisi. Langkah-langkah tersebut mencakup bagaimana mengidentifikasi masalah dan menyelesaikan masalah. Secara khusus pengetahuan prosedural terdiri dari dua bagian yaitu, pengetahuan mengenai format dan kalimat dari satu sistem representasi simbol, dan pengetahuan tentang aturan-aturan algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah. Hiebert dan Wearne (1986), membedakan dua jenis pengetahuan prosedural, yaitu (1) pengetahuan mengenai simbol tanpa mengikutkan apa makna simbol tersebut, dan (2) sekumpulan aturan-aturan atau langkah-langkah yang membentuk suatu algoritma atau prosedur.
    Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa pengetahuan prosedural adalah pengetahuan yang banyak dengan  langkah-langkah dan teknik yang membentuk suatu algoritma atau prosedur yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu soal atau masalah.

KETERKAITAN PENGETAHUAN KONSEPTUAL DAN PROSEDURAL
    Di dalam menyelesaikan masalah matematika diperlukan pengetahuan konseptual dan pengetahuan prosedural. Pengetahuan konspetual yang tidak didukung oleh pengetahuan prosedural akan mengakibatkan siswa mempunyai intuisi yang baik tentang suatu konsep tetapi tidak mampu menyelesaikan suatu masalah. Di lain pihak, pengetahuan prosedural yang tidak didukung oleh pengetahuan konseptual akan mengakibatkan siswa mahir memanipulasi simbol-simbol tetapi tidak memahami dan mengetahui makna dari simbol tersebut. Kondisi ini memungkinkan siswa dapat memberikan jawaban dari suatu soal (masalah) tanpa memahami apa yang mereka lakukan.
    Keterkaitan antara kedua pengetahuan tersebut didukung oleh pendapat Hiebert dan Levefre (dalam Cramer,  dkk., 1993), yang menyatakan bahwa jika pengetahuan konseptual dan pengetahuan prosedural tidak saling terkait maka salah satu dari dua kemungkinan akan terjadi, yaitu siswa mempunyai pemahaman intuitif yang baik terhadap matematika tetapi tidak dapat menyelesaikan masalah, atau siswa dapat memberikan jawaban tetapi tidak memahami apa yang mereka lakukan. Hal ini dapat diilustrasikan pada contoh berikut. Apakah bilangan (33 x 52 x 7) habis dibagi 7? Mahasiswa yang hanya memiliki pengetahuan konseptual, mengetahui bahwa suatu bilangan habis dibagi 7 bila ada bilangan d sehingga bilangan tersebut sama dengan 7d atau bila bilangan tersebut dibagi 7 bersisa 0, akan tetapi dia tidak tahu cara untuk menyelesaikan soal tersebut. Sebaliknya mahasiswa yang hanya memiliki pengetahuan prosedural dapat menyelesaikan soal tersebut dengan menghitung bilangan-bilangan tersebut, tetapi tidak mengetahui prinsip atau aturan yang mendasari prosedur yang digunakannya.
    Eisenhart (1993) mendukung perlunya pengetahuan konseptual dan pengetahuan prosedural dengan menyatakan bahwa pengetahuan konseptual dan pengetahuan prosedural merupakan aspek penting pada pemahaman matematika, maka dari itu mengajar untuk memahami matematika harus menerapkan kedua pengetahuan tersebut.
    Mahasiswa yang mampu memanipulasi simbol-simbol tetapi mereka tidak mengetahui makna yang terkandung di balik simbol tersebut, hal ini menunjukkan mereka memiliki pengetahuan prosedural yang diperlukan tetapi tidak memiliki pengetahuan konseptualnya sehingga tidak dapat memahami makna sebenarnya di bali simbol tersebut, seperti hasil penelitian White dan Mitchelmore (1996), dan Susanna (1995).
   
PENUTUP
    Dalam belajar matematika, untuk mendapatkan pemahaman yang mendalam diperlukan pengetahuan konseptual dan prosedural. Bila salah satu dari kedua pengetahuan tersebut tidak ada, maka pemahaman terhadap matematika tidak dapat secara mendalam. Memiliki pengetahuan konspetual, tetapi tidak memiliki pengetahuan prosedural yang diperlukan, maka  akan mengakibatkan siswa mempunyai intuisi yang baik tentang suatu konsep tetapi tidak mampu menyelesaikan suatu masalah. Di lain pihak, memiliki pengetahuan prosedural, tetapi tidak memiliki pengetahuan konseptual yang mencukupi, maka akan mengakibatkan siswa mahir memanipulasi simbol-simbol tetapi tidak memahami dan mengetahui makna dari simbol tersebut. Kondisi ini memungkinkan siswa dapat memberikan jawaban dari suatu masalah tanpa memahami apa yang mereka lakukan. Jadi Pemahaman  konseptual dan prosedural keduanya sangat diperlukan dan saling terkait satu sama lainnya.
Mahasiswa haruslah didorong untuk memahami konsep-konsep dasar dengan tidak hanya menghafal algoritma dan teknik menjawab pertanyaan dasar (pemahaman prosedural) tetapi juga menekankan aspek pemahaman konseptual matematika. Dengan menguasai pengetahuan algoritma dan teknik-teknik menjawab (pengetahuan prosedural) dan pengetahuan konseptual maka seorang yang belajar matematika akan mencapai pemahaman yang mendalam.

DAFTAR RUJUKAN
Bell, F. H. 1978. Teaching and Learning Mathematics (In Secondary School). Iowa: Wm. C. Brown Company Publisher.
Cramer, K., Post, T., dan Currier, S. 1993. Learning and Teaching Ratio and Proportion Research Implication. Dalam Douglas T. Owen (Ed.), Research Ideas for The Classroom Midle Grad Mathematics (hlm. 159-178). New York: Macmillan Publishing Comp.
Bloom, S. 1971. Handbook on Formative and Sumative Evaluation of Student Learning. New York: Mc. Graw Hill Book Company
Dahar, R. W.. 1988. Teori-teori Belajar. Jakarta: Depdikbud.
Eisenhart, M. 1993. Conseptual Knowledge Falls Through The Cracks: Complexities of Learning to Teach Mathematics for Understanding. Journal for Research in Mathematics Education, 24, 8-40.
Hiebert, J. dan Wearne, D. 1986. Procedure Over Concept: The Acquistion of Decimal Number Knowledge. Dalam James Hiebert (Ed.), Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics (hlm. 199-223). London: Lawrence Erlbaum Associates Inc.
Hudojo, H. 1990. Strategi Mengajar Belajar Matematika. Malang: IKIP Malang.
Niven, I.; Zuckerman, H., dan Montgomery, H. L. 1991. An Introduction to The Theory of Numbers. New York: John Wiley &Sons Inc.
Rif’at, M. 1997. Analisis Tingkat Deduksi dan Rigoritas Susunan Bukti Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matema-tika IKIP Malang. Tesis tidak diterbitkan. Malang: PPS IKIP Malang.
Skemp, R. 1977. The Psychologi of Learning Mathema-tics. Great Britain: Penguin Books.
Susanna, E. 1995. The Role of Proof in Problem Solving. Dalam Schoenfeld (Ed.) Mathematical Thinking an Problem Solving (hlm. 257-268). New Jersey: Lawrence Elbaum Associates Inc.
White, P. dan Mitchelmore, M. 1996. Conceptual Knowledge in Introductory Calculus. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 79-95.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar